Limit Fungsi Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Limit

433

< Sebelum Sesudah >

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

 l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x

 l i m       x    = 1            l i m        x    = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN

 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

 l i m       ax    = a/b       l i m       ax   = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0  tg bx

 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx


 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m    axm + bxm-1 + ....   = x ® ¥   pxn + qxn-1 + ...	¥    untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0    untuk m < n
l i m    Öax2 + bx + c  -    Ödx2 + ex + f x ® ¥	¥    untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

 l i m    f(x)   = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1.  l i m   x² - 5x + 6 = (3)² - 5(3) + 6 = 0 
    x ® 3

2.  l i m    3x - 2   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥  2x + 1       ¥     

                 x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
                 x(2 - 1/x)    2 + 1/x   2 - 0    2
    
                 atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x² - x - 1   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥   10x + 9         ¥     

                 x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
                 x(10 - 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

                 atau langsung gunakan hal khusus


4.  l i m    x² - 3x + 2   =  0   (*) Uraikan
    x ® 2   x² - 5x + 6       0    

                 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
                 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5.  l i m    x³ - 3x² + 3x - 1   =  0   (*) Uraikan
    x ® 1       x² - 5x + 6           0    

                      (x - 1)³     = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                    
6.  l i m    Ö² + x - Ö2x   =  0   (*) Hilangkan tanda akar dengan
    x ® 2       x - 2            0         mengalikan bentuk sekawan

                      (x - 1)³     = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0 = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                        
7.  l i m   (^3x - Ö9x² + 4x)  = ¥ - ¥  (*) Hilangkan tanda akar
    x ® ¥       
                                                              
     l i m   (^3x - Ö9x² + 4x )  = é ^3x - Ö9x² + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
    x ®  ¥   ë ^3x - Ö9x² + 4x  û             akar

     l i m   (^9x2 - (9x² + 4x)  = l i m            -4x                =
    x ®  ¥    3x + Ö(9x² + 4x)      x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

     l i m            -4             = -4 = -2
    x ®  ¥    3 + 3Ö⁽¹ + 0)             6     3

                 atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m   sin 2x = 0 (*)
   x ® 0  tg 3x     0

              sin 2x = 3x    2 = 1 . 1 . 2 = 2
              2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 - cos 2x = 0
   x ® 0      sin 2x      0

               1 - (1 - 2 sin² 2x) =      2 sin² x   =  sin x = tg x = 0
               2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 - cos x = 0
   x ® 0       3x²      0

               2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
            3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

4. l i m   sin x - sin a = 0  (*)
   x ® 0       x - a        0

               2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
                           x - a                         ½ (x - a )

            cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a

           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Tips Bugar Saat Puasa

Intinya sebenarnya ada dalam makanan ketika sahur.

1. Sahur dengan makanan yang hangat, agar makanan mudah dicerna sekaligus merangsang keluarnya enzim pencernaan.

2. Selain sahur dengan nasi dan lauk, konsumsi juga sayur, buah-buahan dan minum segelas susu. Hindari minum kopi karena kandungan dalam kopi menyebabkan cairan dalam tubuh sering keluar. Perbanyak minum air putih agar tubuh kelak tidak kekurangan cairan.

3. Mengakhirkan waktu sahur. Setidaknya dengan mengakhirkan waktu sahur kita memiliki cadangan tenaga yang lebih dibandingkan dengan yang lebih cepat sahurnya.

4. Berpuasa bukan berarti kita mengehentikan semua aktifitas olahraga. Lakukan olahraga ringan, semacam strecthing atau senam ringan di pagi-pagi buta. Boleh juga jogging atau jalan kaki menjelang berbuka puasa.

5. Redam emosi dan berpikir positif.

Scara psikologis, dengan berfikir positif dan tidak mengumbar emosi, akan menyebabkan pikiran lebih tenang dan energi tidak banyak keluar.

6. Tetaplah beraktifitas selama puasa, namun tidak berlebihan. Selalu tidur justru akan menjadikan badan terasa lemas dan tidak bertenaga.

7. Jangan segan mandi ditengah hari. Mandi mampu menyegarkan badan kita kembali.